Contrastes de Homogeneidad de Proporciones. TABLAS DE CONTINGENCIA. Ejemplo.
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Ejemplo de contraste de homogeneidad de proporciones. En un ensayo clínico se desean comparar cuatro vacunas, E1, E2, E3 y E4 ; en relación al criterio reacción cutánea, con tres niveles, A1="reacción nula" ; A2="reacción moderada" ; y A3="reacción importante".  Se dividió un grupo de 400 niños en cuatro grupos de 100, a los que se administró las vacunas  E1, E2, E3 y E4 ; respectivamente. Los resultados obtenidos conforman la siguiente tabla de contingencia con 4 filas y 3 columnas

 

 

A1

A2

A3

totales

E1

13

71

16

n1+=100

E2

15

74

11

n2+=100

E3

14

80

6

n3+=100
E4 5 70 25 n4+=100
totales n+1=47 n+2=295 n+3=58

n=400

El desarrollo del siguiente contraste refleja en su hipótesis nula el hecho de que, respecto a cualquiera de los tres tipos de reacción, las 4 vacunas son similares

Bajo la veracidad de H0 ,  las estimaciones de las probabilidades de que tengan lugar las distintas reacciones (proporciones de niños manifestando las diferentes reacciones) así como de los valores esperados en cada celdilla, figuran en azul y rojo, respectivamente. Los datos en verde representan los valores de los sumandos del estadístico Q del contraste, respecto de los datos obtenidos:  

 

R1

R2

R3

totales

E1

13  (11.75)(0.132979)

71 (73.75)(0.102542)

16 (14.5)(0.155172)

n1+=100

E2

15  (11.75)(0.898936)

74 (73.75)(0.000847)

11 (14.5)(0.844828)

n2+=100

E3

14 (11.75)(0.430851)

80 (73.75)(0.529661)

6 (14.5)(4.982759)

n3+=100
E4 5 (11.75)(3.877660) 70 (73.75)(0.190678) 25 (14.5)(7.603448) n4+=100
totales n+1=47 n+2=295 n+3=58

n=400

 

 

Adoptado 0.05 como nivel de significación y dado que el valor del estadístico para los datos obtenidos y el P - valor son

,donde Q sigue la ley χ2 con 6=(4-1)(3-1) grados de libertad,  nos vemos obligados a rechazar la hipótesis nula.

Comentario:

Si observamos los sumandos de q (aparecen en verde en la tabla anterior) que corresponden a la vacuna E4 (cuarta fila), éstos representan cerca del 60% del valor de q, es decir, suponen una gran parte de la variabilidad detectada; mientras que esta variabilidad en la totalidad del resto de vacunas entra dentro de lo "razonable" (basta con comprobar que las diferencias entre valores observados y valores esperados son, en general, "mínimas") , si la hipótesis nula fuese cierta.

A modo de ejercicio, puede el lector comprobar -mediante el correspondiente contraste y utilizando el applet (tabla de contingencia con 3 filas y 3 columnas)- que si suprime los datos de la vacuna E4, no existen diferencias significativas en las reacciones de las vacunas E1, E2 y E3


 
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Dpto. de Matemática Aplicada (Biomatemática). Facultad de Biología. UCM.