Contrastes de Homogeneidad de Proporciones. TABLAS DE CONTINGENCIA. Formulación.
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Contrastes de homogeneidad de proporciones. Se consideran  E1=(X11,X12 ,..., X1s),  E2=(X21,X22 ,..., X2s) ,..., Er=(Xr1,Xr2 ,..., Xrs), r  poblaciones multinomiales independientes,  en relación a un mismo criterio de clasificación con s niveles o clases  A1, A2, ..., As ; donde  los números de ensayos son n1+, n2+,..., nr+, respectivamente ; Xij = nº de veces, de los ni+ ensayos realizados en la población Ei , que tiene lugar Aj pij = probabilidad que en Ei tiene el atributo Aj .

Las variables a las que se alude en esta situación definen la siguiente tabla de contingencia con r filas y s columnas

 

A1

A2

......

As

Totales

E1

x11

x12

......

x1s

n1+

E2

x21

x22

......

x2s

n2+

.....

...

...

......

...

 

Er

xr1

xr2

......

xrs

nr+

Totales

n+1

n+2

 

n+s

n

 

n+j= total de la j-ésima columna= frecuencia de  Aj , respecto de n = nº de ensayos total.

Se trata de contrastar si, en relación al criterio considerado, las r poblaciones son homogéneas, es decir, si no existen diferencias entre la probabilidades de cada uno de los atributos o clases en todas las poblaciones. La formulación de este contraste sería:

Bajo la veracidad de H0 , el estadístico

sigue de manera aproximada, si los tamaños muestrales son grandes, la ley de probabilidad de una variable χ2 con (r-1)(s-1) grados de libertad, donde

 

son estimaciones de las probabilidades pj , considerando la totalidad de n datos u observaciones y, como es obvio, bajo suposición de ser cierta la hipótesis nula.

La aproximación considerada es aceptable siempre que las estimaciones de todos valores esperados (Eij=ni+pj) sean como mínimo 5; aunque una regla menos conservadora permite que la aproximación pueda emplearse si como máximo el 20% de estos valores esperados son menores que 5 y ninguno es cero.


 
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Dpto. de Matemática Aplicada (Biomatemática). Facultad de Biología. UCM.