Modelos de probabilidad. La variable normal. El teorema del límite central 
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Modelos de probabilidad. La variable Normal N(μ,σ). El modelo de probabilidad normal de parámetros μ y σ , N(μ,σ), siendo μ y σ constantes, con σ>0, juega un papel fundamental en estadística, ya que  todas las técnicas o procedimientos inferenciales dependen directa o indirectamente de esta variable aleatoria.  

Su función de densidad presenta la siguiente estructura :

La gráfica de la función densidad, conocida como campana de Gauss, se expone a continuación para la variable normal  tipificada o estándar, definida para μ=0 y σ=1 :

Su valor medio y varianza son

Obsérvese en la gráfica que alrededor de 0 , valor medio de la variable en este caso, se sitúan las zonas de máxima probabilidad de la variable.

Sus propiedades más relevantes son: 

  • Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes y con leyes de probabilidad N(μii) , i=1,2,...n, respectivamente; y a1,a2,...,an,b son constantes; entonces la variable aleatoria

  • Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes y con leyes de probabilidad N(μii) , i=1,2,...n, respectivamente;

 

sigue  la ley de probabilidad del modelo Chi-cuadrado con n grados de libertad.

  • Teorema del límite central. Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias (discretas o continuas) independientes ,con idéntico modelo de probabilidad, de valor medio μ y varianza σ2 , entonces la distribución de la variable

se aproxima a la de una normal tipificada N(0,1), mejorándose la calidad de la aproximación a medida que n aumenta.

Este resultado prueba que el estadístico o estimador media muestral 

Con carácter general, o al menos en los modelos de probabilidad clásicos, se admite una aproximación aceptable al modelo normal siempre que n sea mayor o igual que 30, a pesar de que esta cifra es insuficiente en determinados  casos y excesiva en otros; por lo que debemos ser cautelosos en su aplicación. En la última página de este tema se establece una relación de algunos modelos, con aproximaciones particulares, que en la mayoría de los casos derivan del teorema del límite central.


 
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Dpto. de Matemática Aplicada (Biomatemática). Facultad de Biología. UCM.