Modelos de probabilidad. Procesos temporales de Poisson. La variable de Poisson
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Modelos de probabilidad. La variable aleatoria de Poisson. Con el fin de introducir el modelo de probabilidad de Poisson relativo procesos temporales, vamos a suponer que un acontecimiento se produce de manera repetitiva en el tiempo, y que los instantes en los que la repetición se produce están repartidos al azar en el eje temporal, siendo  la cadencia media α constante:

Se considera un intervalo de tiempo (0 , t] en el que se observa cuántas veces se produce el acontecimiento, magnitud que define una variable aleatoria :

Bajo los supuestos que se exponen a continuación, esta variable aleatoria se comporta como un modelo de probabilidad de función de densidad:

  • Las variables aleatorias que se define sobre intervalos de tiempo disjuntos son independientes.
  • p( ocurran x repeticiones en (a,a+t] ) = p(Xt = x), cualquiera que sea t>0.
  • En un intervalo de longitud suficientemente pequeña Δt , la probabilidad de que ocurra una vez el suceso es αΔt, mientras que la de que ocurra más de una es prácticamente cero.

Si dividimos el intervalo temporal de observación, (0 , t], en un número considerable, n, de  subintervalos I1, I2, ..., In , podemos escribir obviamente

Como suma de variables independientes de Bernoulli B(αt/n), Xt es una variable binomial B(n,αt/n) , con función de densidad   

Se dice que una variable aleatoria X sigue una ley de probabilidad de Poisson de parámetro λ , donde λ es una constante positiva, si su función de densidad de probabilidad presenta la siguiente forma:

Su valor medio y varianza son

La representación gráfica de algunos valores de la función de densidad del modelo de Poisson P(6)

Obsérvese en la gráfica anterior que alrededor del valor 6, que corresponde al valor medio de la variable en este caso particular, se concentra los valores de máxima probabilidad de la variable.


 
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Dpto. de Matemática Aplicada (Biomatemática). Facultad de Biología. UCM.